Échelle logarithmique

Assia s'intéresse à un type de puissance bien connu : les puissances de \(10\). Elle veut étudier les valeurs des différentes puissances entières.

1. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous.

\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x &-5&-4&-3&-2&-1&~0~&~1~&~2~&~3~&~4~&~5~ \\ \hline 10^x&\ \\ \hline \end{array}\end{align*}\)

2. Elle veut à présent tracer le nuage de points correspondant dans un repère. Quel problème rencontre-t-elle ?

L'échelle utilisée dans la majorité des cas est une échelle linéaire. C'est une graduation en progression arithmétique : la différence entre deux valeurs graduées consécutives est constante (l'écart entre les graduations \(1\) et \(2\) est le même que l'écart entre les graduations \(10\) et \(11\)).

Assia va donc choisir une échelle logarithmique : une graduation en progression géométrique, le rapport entre deux valeurs graduées consécutives est constant (l'écart entre les graduations \(1\) et \(10\) est le même que l'écart entre les graduations \(10\) et \(100\)). C'est une échelle idéale pour montrer des ordres de grandeur et elle n'est définie que pour des valeurs strictement positives.

3. a. Tracer un repère avec un axe des abscisses linéaire commençant à \(-5\) et de graduation \(2\) cm pour \(1\). La prochaine graduation est donc \(-5+1 = -4\) et ainsi de suite : \(-3\) ; \(-2\) ; \(-1\)...
    b. Tracer un axe des ordonnées logarithmique commençant à \(10^{-5}\) et de graduation \(2\) cm pour \(10\). La prochaine graduation est donc \(10^{-5} \times 10 = 10^{-4}\) et ainsi de suite : \(10^{-3}\) ; \(10^{-2}\) ; \(10^{-1}\)...

4. Tracer le nuage de points des puissances de \(10\). Que peut-on penser de la forme obtenue ?